Question

14．设椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的焦点在x轴上，O为坐标原点，过椭圆右焦点垂直于x轴的直线，交椭圆于点A、B，S_△AOB=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
（I）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）动直线l交椭圆M于不同的两点C，D，若以|CD|为直径的圆过原点O，
（i）求线段|CD|的取值范围；
（ii）证明：直线l与定圆N相切．

Answer 1

分析 （I）把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{5}}$，可得S_△AOB=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}c×\frac{2{b}^{2}}{\sqrt{5}}$，化为b²c=2，又b²+c²=5，联立解出即可得出．
（II）（i）当直线OC的斜率不存在或斜率为0时，可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6}$．当直线OC的斜率存在时，设直线OC的方程为y=kx（k≠0），直线OD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x²，y²．可得|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．可得|CD|²=|OC|²+|OD|²，求得最小值，即可得出范围．
（ii）设原点O到直线l的距离为d，当k≠0或斜率k存在时，利用面积相等可得$\frac{1}{2}|OC||OD|$=$\frac{1}{2}d|CD|$，即可得出．当k=0或斜率k不存在时同样成立．

解答 （I）解：把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{5}}$，
∴S_△AOB=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}c×\frac{2{b}^{2}}{\sqrt{5}}$，化为b²c=2，又b²+c²=5，
解得b=1，c=2，
∴椭圆M的方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}$=1．
（II）（i）解：当直线OC的斜率不存在或斜率为0时，可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
当直线OC的斜率存在时，
设直线OC的方程为y=kx（k≠0），直线OD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{5}{1+5{k}^{2}}$，y²=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
∴|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．
∴|CD|²=|OC|²+|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$+$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$=$\frac{30（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+26{k}^{2}+5}$=$\frac{30}{5+\frac{16}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$≥$\frac{10}{3}$，当k²=1时取等号．
∴$|CD|≥\frac{\sqrt{30}}{3}$．
综上可得：$\frac{\sqrt{30}}{3}$≤|CD|≤$\sqrt{6}$．
（ii）设原点O到直线l的距离为d，当k≠0或斜率k存在时，
∵$\frac{1}{2}|OC||OD|$=$\frac{1}{2}d|CD|$，
∴$\sqrt{\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}}$=d$\sqrt{\frac{30（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+26{k}^{2}+5}}$，
d=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
当k=0或斜率k不存在时也成立，
∴直线l与定圆N：x²+y²=$\frac{5}{6}$相切．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、勾股定理、直角三角形的面积、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．