Question

19．如图，正方形ABCD的边长为2，M，N分别为边BC，CD上的动点，且∠MAN=45°，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最小值为8（$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 设∠BAM=θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，分别由解直角三角形可得AM，AN的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变换公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值

解答 解：设∠BAM=θ，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
在直角△ABM中，AM=$\frac{2}{cosθ}$，
在直角△ADN中，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{4}-θ）}$，
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{AN}$|cos$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθcos（\frac{π}{4}-θ）}$
=$\frac{4\sqrt{2}}{cos\frac{π}{4}+cos（2θ-\frac{π}{4}）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+cos（2θ-\frac{π}{4}）}$，
当2θ-$\frac{π}{4}$=0，即θ=$\frac{π}{8}$时，cos（2θ-$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值为 $\frac{4\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8（$\sqrt{2}$-1）．
故答案为：8（$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查三角函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．