Question

2．设f（x）的定义域为A={x∈R|x≠0}，对任意的x，y∈A，都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（1）和f（-1），并证明：$f（\frac{x}{y}）=f（x）-f（y）$；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法进行求解f（1）=0，f（-1）=0；       
（2）根据条件判断函数的奇偶性即可；    
（3）根据函数单调性的定义进行判断；

解答 解：（1）令x=2，y=1，则f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，
令x=-1，y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，则f（-1）=0，
∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（y）+f（$\frac{x}{y}$）=f（y•$\frac{x}{y}$）=f（x），
即f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（2）由题意知，对定义域内的任意x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
且f（-1）=0，
令y=-1，代入上式，
∴f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（3）设x₂＞x₁＞0，则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）-f（{x_1}）$=$f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$
∵x₂＞x₁＞0，∴$\frac{x_2}{x_1}＞1$，∴$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x和y值利用给出恒等式，注意条件的利用；利用赋值法是解决本题的关键．