Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≥x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．
（Ⅱ）要证：f（x）≥x-1，需证明：g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可

解答 （Ⅰ）解：设切线的斜率为k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1
因为f（1）=1•ln1=0，切点为（1，0）．
切线方程为y-0=1•（x-1），化简得：y=x-1．----------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：要证：f（x）≥x-1
只需证明：g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1-1=lnx
当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当x=1时g（x）_min=g（1）=1•ln1-1+1=0g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立
所以f（x）≥x-1．-----------------------------------------（10分）

点评 本题考查切线方程的求法，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．