Question

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥

1

2

；
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2x+a₁²+a₂²，
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而a₁²+a₂²≥

1

2

．
（1）已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；
（3）若

1-x

+

2-y

+

3-z

=1，求x+y+z的最大值．

Answer 1

考点：归纳推理,不等式的证明

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证a₁²+a₂²≥

1

2

及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，则a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

；
（2）观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明；
（3）由（2）知，a₁+a₂+a₃=1，a₁²+a₂²+a₃²≥

1

3

，令a₁=

1-x

+=，a₂=

2-y

，a₃=

3-z

，则1-x+2-y+3-z≥

1

3

，即可求出x+y+z的最大值．

解答： 解：（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，
求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

（2）证明：构造函数
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=nx²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

；
（3）由（2）知，a₁+a₂+a₃=1，a₁²+a₂²+a₃²≥

1

3

，
令a₁=

1-x

，a₂=

2-y

，a₃=

3-z

，则1-x+2-y+3-z≥

1

3

，
∴x+y+z≤

17

3

，
当且仅当x=

8

9

，y=

17

9

，z=

26

9

时，x+y+z的最大值为

17

3

．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．