Question

1．（1）已知数列{a_n}满足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*）且x₁+x₂+…+x₁₀₀=1，求lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）的值；
（2）已知数列{a_n}满足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）数列{x_n}满足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*），可得lg$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即x_n+1=10x_n．再利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，则S_n=2ⁿ，根据数列的递推公式公式即可求出数列的通项公式．

解答 解：（1）∵数列{x_n}满足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*），
∴lg$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即x_n+1=10x_n．
∴数列{x_n}是公比为10的等比数列．
且x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
则lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）lg10¹⁰⁰（x₁+x₂+…+x₁₀₀）=lg10¹⁰⁰•1=100．
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$
∴S_n=2ⁿ，
当n=1时，b₁=S₁=2，
当n≥2时，∴S_n-1=2^n-1，
∴b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
令n=1时，b₁=2≠1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2^n-1，
∴a_n=n•2^n-1，n≥2时，
当n=1时，a₁=2，
综上所述a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．