Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ（0＜θ＜

π

2

），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）过点P（-2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线C相交于A、B两点，证明|PA|•|PB|为定值，并求倾斜角α的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ（0＜θ＜

π

2

），可得ρ²=4ρcosθ，
化为x²+y²=4x，由于0＜θ＜

π

2

，可得y=ρsinθ＞0，因此曲线C表示的上半圆．
（2）过点P（-2，0）作倾斜角为α的直线l方程为：y=（x+2）tanα．
利用直线l与半圆相切的性质和点到直线的距离公式可得：圆心C（2，0）到直线l的距离d=r，

|2tanα+2tanα|

tan2α+1

=2，化为tan2α=

1

3

．由于曲线C表示的是上半圆，取tanα=

3

3

，可得α=

π

6

．
因此当直线l与曲线C相交于A、B两点时，可得α的取值范围．再利用割线定理可得|PA|•|PB|=|PO|（|PO|+2r）即可得出．

解答： 解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ（0＜θ＜

π

2

），∴ρ²=4ρcosθ，
化为x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，
由于0＜θ＜

π

2

，∴y=ρsinθ＞0，因此曲线C表示的上半圆．
（2）过点P（-2，0）作倾斜角为α的直线l方程为：y=（x+2）tanα．
当直线l与半圆相切时，圆心C（2，0）到直线l的距离d=r，∴

|2tanα+2tanα|

tan2α+1

=2，
化为tan2α=

1

3

．
∵曲线C表示的是上半圆，因此取tanα=

3

3

，∴α=

π

6

．
因此当直线l与曲线C相交于A、B两点时，α∈(0，

π

6

)．
由割线定理可得|PA|•|PB|=|PO|•（|PO|+2r）=2×（2+4）=12．

点评：本题考查了圆的极坐标方程及其标准方程、直线与圆的相切与相交时的位置关系及其性质、割线定理，属于中档题．