Question

在△ABC中，内角A，B，C满足4sin Asin C-2cos （A-C）=1．
（Ⅰ） 求角B的大小；
（Ⅱ） 求sinA+2sinC的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，求出A+C的三角函数值，即可求角B的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，化简sinA+2sinC为 A的三角函数，通过正弦函数的值域求出表达式的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵4sinAsinC-2cos（A-C）=4sinAsinC-2cosAcosC-2sinAsinC
=-2（cosAcosC-sinAsinC），
∴-2cos（A+C）=1，
故cosB=

1

2

．
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．                       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=

2π

3

-A，
故sinA+2sinC=2sinA+

3

cosA=

7

sin（A+θ），
其中0＜θ＜

π

2

，且sinθ=

21

7

，cosθ=

2 7

7

．tanθ=

3

2

，（θ≈

π

4.4

大约41°）
∵

3

2

∈(

3

3

，1)，∴θ∈(

π

6

，

π

4

)
由0＜A＜

2π

3

知，θ＜A+θ＜

2π

3

+θ，
当A+θ=

π

2

时，函数取得最大值，最大值为：

7

．
当sinθ=

21

7

，cosθ=

2 7

7

，A=

2π

3

时，函数取得最小值为：2×

3

2

+

3

×(-

1

2

)=

3

2

，
∴sinA+2sinC∈（

3

2

，

7

]．           …（14分）．

点评：本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力．