Question

已知函数f（x）=

3

sin（

π

3

x-

π

3

）+2sin²（

π

6

x-

π

6

）（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数的值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简，进而利用正弦函数图象与性质分别求得函数的周期和对称轴方程．
（2）先分别求出一个周期内函数的值，看2013是6的多少倍数推断．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

）+2•

1-cos( πx 3 - π 3 )

2

=2sin（

πx

3

-

π

3

-

π

6

）+1=-2cos

πx

3

+1，
∴T=

2π

π 3

=6，对称轴方程为

π

3

x=kπ，即x=3k，k∈Z．
（2）∵f（1）=0，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=2，f（5）=0，f（6）=-1，
而f（x）的最小正周期为6，且2013=6×335+3，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=6×335+0+2+3=2015．

点评：本题主要考查了正弦函数的两角和公式，三角函数的图象与性质，函数的周期性问题．考查了学生对三角函数基础知识的综合应用．