Question

设数列{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}是以函数f（x）=4sin²πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由已知条件利用三角函数求出数列{b_n}首项为1从而bn=3n-1，得到a_n•b_n=2n•3^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，d＞0，
∵a₁=2，a₃=a₂²-10，
∴

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，解得a=2或d=-4（舍）．（5分）
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．（6分）
（2）∵y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

2

=-2cos2πx+2，
其最小正周期为

2π

2π

=1，
∴首项为b₁=1．（7分）
∵公比为q=3，从而bn=3n-1，
∴a_n•b_n=2n•3^n-1，（8分）
∴S_n=2•3⁰+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，①
3S_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，②
①-②，得：-2S_n=2+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ
=2+2×

3(1-3n-1)

1-3

-2n•3ⁿ
=2+3ⁿ-3-2n•3ⁿ，
∴S_n=

(2n-1)•3n+1

2

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．