Question

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+

1

2x

（1）判断f（x）为奇偶性；
（2）证明f（x）函数在[0，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数奇偶性的定义判定f（-x）是等于f（x），还是等于-f（x）即可．
（2）?0≤x₁＜x₂，利用指数函数的单调性只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．

解答： 解：（1）?x∈R，则f（-x）=2-x+

1

2-x

=

1

2x

+2x=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）?0≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-(2x2+

1

2x2

)=(2x1-2x2)

2x1+x2-1

2x1+x2

．
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，2x1+x2＞20=1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）函数在[0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．