Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．
（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；
（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．

Answer 1

分析 （I）F（1，0），设M（0，t₁），N（0，t₂）．不妨设t₁＞t₂．由MF⊥NF，可得$\overrightarrow{MF}$$•\overrightarrow{NF}$=0，化为：t₁t₂=-1．S_△MFN=$\frac{1}{2}（|{t}_{1}|+|{t}_{2}|）$，利用基本不等式的性质即可得出．
（II）A（-$\sqrt{2}$，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，-$\frac{1}{t}$），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=$\frac{t}{\sqrt{2}}$x+t，y=$-\frac{1}{\sqrt{2}t}$x-$\frac{1}{t}$．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k_OE，k_OD．只要证明k_OE=k_OD．即可得出E，O，D三点共线．

解答 （I）解：F（1，0），设M（0，t₁），N（0，t₂）．不妨设t₁＞t₂．
∵MF⊥NF，∴$\overrightarrow{MF}$$•\overrightarrow{NF}$=1+t₁t₂=0，化为：t₁t₂=-1．
∴S_△MFN=$\frac{1}{2}×1×|{t}_{1}-{t}_{2}|$=$\frac{1}{2}（|{t}_{1}|+|{t}_{2}|）$≥$\frac{1}{2}×2\sqrt{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=1．当且仅当t₁=-t₂=1时取等号．
∴△MFN的面积的最小值为1．
（II）证明：A（-$\sqrt{2}$，0）．
设M（0，t），由（1）可得：N（0，-$\frac{1}{t}$），（t≠±1）．
直线AM，AN的方程分别为：y=$\frac{t}{\sqrt{2}}$x+t，y=$-\frac{1}{\sqrt{2}t}$x-$\frac{1}{t}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{\sqrt{2}}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+t²）x²+2$\sqrt{2}$t²x+2t²-2=0，
∴-$\sqrt{2}$x_E=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+{t}^{2}}$，可得x_E=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$，y_E=$\frac{t}{\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$+t=$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$，可得k_OE=$\frac{\sqrt{2}t}{1-{t}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{\sqrt{2}t}x-\frac{1}{t}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+t²）x²+2$\sqrt{2}$x+2-2t²=0，
可得：$-\sqrt{2}$x_D=$\frac{2-2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$，解得x_D=$\frac{\sqrt{2}（{t}^{2}-1）}{1+{t}^{2}}$，y_D=$-\frac{1}{\sqrt{2}t}$×$\frac{\sqrt{2}（{t}^{2}-1）}{1+{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$=$\frac{-2t}{1+{t}^{2}}$，可得k_OD=$\frac{\sqrt{2}t}{1-{t}^{2}}$．
∴k_OE=k_OD．
∴E，O，D三点共线．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率与三点共线关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．