Question

17．已知a＞0，函数f（x）=a²x³-3ax²+2，g（x）=-3ax+3．
（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的极值；
（3）若?x₀∈（0，$\frac{1}{2}$]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由导数值即曲线上过该点的切线的斜率求出斜率，后由点斜式写出切线方程；
（2）求出原函数的导函数，求出导函数的两个零点，由零点对定义域分段，得到在各区间段内导函数的符号，判断出原函数的单调性，从而求出原函数在[-1，1]上的极值点，进一步求得函数的极值．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），求导，由F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，只要F（x）_max＞0即可，列出不等式求得a的范围．

解答 解：由f（x）=a²x³-3ax²+2，求导，f′（x）=3a²x²-6ax，
（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=3x²-6x，f′（1）=-3，f（1）=0，
∴f（x）在点（1，f（1））的切线方程的斜率k=-3，直线方程y=-3（x-1），即y+3x-3=0，
函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程y+3x-3=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x₁=0，x₂=$\frac{2}{a}$，
（1）当0＜$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2时，x∈（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（0，$\frac{2}{a}$）时f′（x）＜0，
∴当x在区间（-1，1）上，x，f′（x），f（x）变化，

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{2a-4}{a}$；
当$\frac{2}{a}$=1，即a=2时，x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
x∈（0，1）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a²-3a+2；
当$\frac{2}{a}$＜1，即0＜a＜2时，x∈（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞）时f′（x）＞0，
x∈（0，$\frac{2}{a}$）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=2．
综上，当a＞2时，函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{2a-4}{a}$；
当a=2时，函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a²-3a+2；
当0＜a＜2时，函数f（x）在[-1，1]上有极大值f（0）=2；
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=a²x³-3ax²+3ax-1，（x∈（0，$\frac{1}{2}$]），
对F（x）求导，得F′（x）=3a²x²-6ax+3a=3a²x²+3a（1-2x）＞0（a＞0），
∴F（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上为增函数，则F（x）_max=F（$\frac{1}{2}$）．
依题意，只需F（x）_max＞0，即a²×$\frac{1}{8}$-3a×$\frac{1}{4}$+3a×$\frac{1}{2}$-1＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+$\sqrt{17}$或a＜-3-$\sqrt{17}$（舍去）．
于是，所求实数a的取值范围是（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．

点评 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握不等式成立时所取的条件，将其转化为求函数的最大值问题解决，考查构造函数法思想的运用．属于难题．