Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
（1）若a＞b＞c，f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若常数x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），求证：必存在x₀∈（x₁，x₂）为函数F（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]的零点．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知f（x）的图象与x轴有2个交点，只要判断△=b²-4ac＞0即可．
（2）要证明存在x₀∈（x₁，x₂）为函数F（x）的零点，只要函数F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+（x₂）]，判断F（x₁）×F（x₂）＜0即可证明在x₀∈（x₁，x₂）函数F（x）存在零点．

解答： 证明：∵f（1）=0，
∴a+b+c=0，
又a＞b＞c，
故a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴f（x）的图象与x轴有2个交点．
（2）设F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则F（x₁）×F（x₂）=[f（x₁）-

1

2

f（x₁）-
f（x₂）]×[f（x₂）-

1

2

f（x₁）-

1

2

f（x₂）]=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]×

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]
=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
由于f（x₁）≠f（x₂）
所以：F（x₁）×F（x₂）＜0
所以方程F（x）在（x₁，x₂）内必有一根．
所以：必存在x₀∈（x₁，x₂）为函数F（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]的零点．

点评：本题考查的知识要点：函数图象与x轴的交点问题，零点的应用及存在性的应用．属于中等题型．