Question

已知函数f（x）=

1

x-a

+

1

x-b

，其中实数a＜b，则下列关于f（x）的性质说法不正确的是（　　）

• A、若f（x）为奇函数，则a=-b
• B、方程f[f（x）]=0可能有两个相异的实数根
• C、在区间（a，b）上f（x）为减函数
• D、函数f（x）有两个零点

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：A．利用奇函数的定义求解；
B．f（x）=0的时候只有一个解，求出来的x就是f（x）的值，这时有两个解就可以了．
C．显然该函数在（a，b）上连续，则只需判断函数y=

1

x-a

，y=

1

x-b

在该区间上的单调性即可；
D．解方程f（x）=0即可．

解答： 解：对于A．若该函数为奇函数，则定义域关于原点对称，所以有x≠a与x≠b关于原点对称，即a=-b，故A正确；
对于B．由f（x）=0得

1

x-a

+

1

x-b

=0，即x=

a+b

2

．所以f[f（x）]=0有解，只需f（x）=

a+b

2

．即

1

x-a

+

1

x-b

=

a+b

2

．①，此时不妨取a=-1，b=2，代入①化简得x²-5x=0，所以x=0或5，此时有两个根，故B正确；
对于C．对于f（x）=

1

x-a

+

1

x-b

，其定义域为{x|x∈R且x≠a且x≠b}，结合a＜b可知，函数f（x）在区间（a，b）上是连续的，因为函数y=

1

x

在定义域内的两段区间上都是减函数，所以结合图象的平移变换的知识可知：y=

1

x-a

，y=

1

x-b

也都是（a，b）上的减函数，所以f（x）在（a，b）上是减函数．故C正确．
对于D．由f（x）=0得

1

x-a

+

1

x-b

=0，即x=

a+b

2

．只有一个根．故D错误．
故选D．

点评：本题考查了函数的零点、方程的根之间的关系，要注意结合函数的性质进行研究．属于能力题．