Question

5．在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），点P满足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=k|\overrightarrow{PC}{|^2}$．
（1）若k=2，求点P的轨迹方程；
（2）当k=0时，若$|λ\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}{|_{max}}=4$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （I）设P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（x-1，y）．通过k=2，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}{|^2}$，化简求解点P的轨迹方程即可．
（II）通过k=0，推出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，得到x²+y²=1．化简|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|²=（2-2λ²） y+2λ²+2（y∈[-1，1]）．然后求解表达式的最值即可．

解答 （本题满分15分）
解：（I）设P（x，y），则$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（x-1，y）．
因为k=2，所以 $\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}{|^2}$，
所以 （x，y-1）?（x，y+1）=2[（x-1）²+y²]，
化简整理，得 （x-2）²+y²=1，
故点P的轨迹方程为 （x-2）²+y²=1．…（7分）
（II）因为k=0，所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，
所以 x²+y²=1．
所以|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|²=λ²$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{BP}$²
=λ²[x²+（y-1）²]+x²+（y+1）²
=（2-2λ²） y+2λ²+2（y∈[-1，1]）．
当2-2λ²＞0时，即-1＜λ＜1，
（|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|_max）²=2-2λ²+2λ²+2=4≠16，不合题意，舍去；
当2-2λ²≤0时，即λ≥1或λ≤-1时，
（|λ$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|_max）²=2λ²-2+2λ²+2=16，解得λ=±2．…（8分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，向量的综合应用，考查转化思想以及计算能力．