Question

某技术部门对工程师进行达标定级考核，需要经过两轮测试，每轮测试的成绩在9.5分及以上的定位该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定
①两轮测试均通过的一定为一级工程师；
②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师；
③第一轮测试没通过的不予定级．
已知甲、乙、丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为

1

3

，

2

3

，

2

3

；通过第二轮测试的概率均为

1

2

．
（1）求经过本次考核，甲被定位以及工程师，乙被定位二级工程师的概率；
（2）求经过本次考核，甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定位以及工程师的概率；
（3）设甲、乙、丙三位工程师中被定位一级工程师的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：二项式定理

分析：（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算即可；
（2l利用独立事件的概率乘法公式计算即可
（3）被定位一级工程师的人数为随机变量X取值分别为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求数学期望EX．

解答： 解：（1）甲被定位一级工程师概率是

1

3

×

1

2

=

1

6

，乙被定位二级工程师的概率

2

3

×(1-

1

2

)=

1

3

，甲被定位一级工程师，乙被定位二级工程师的概率是

1

6

×

1

3

=

1

18

．
（2）甲被定位一级工程师概率是

1

6

，乙丙各自被定为一级工程师的概率都是

1

3

，甲和乙被定为一级：

1

6

×

1

3

×(1-

1

3

)=

1

27

，
甲和丙被定为一级

1

6

×(1-

1

3

)×

1

3

=

1

27

，乙丙被定为一级：(1-

1

6

)×

1

3

×

1

3

=

5

54

，则有两人被定为一级工程师的概率为：

1

27

+

1

27

+

5

54

=

1

6

（3）甲乙丙都没有定为一级的概率是(1-

1

6

)×(1-

1

3

)×(1-

1

3

)=

10

27

，有一个被定为一级工程师的概率是

4

9

，三人都被定为一级工程师的概率是

1

54

，
所以X的分布列是：

x	0	1	2	3
P	10 27	4 9	1 6	1 54

数学期望是EX=0×

10

27

+1×

4

9

+2×

1

6

+3×

1

54

=

5

6

．

点评：本题考查了互斥事件、对立事件的概率，考查了独立事件的概率乘法公式，考查了系数分析、解决问题的能力．