Question

若正项数列{a_n}满足条件：存在正整数k，使得

an+k

an

=

an

an-k

对一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k级等比数列．
（1）已知数列{a_n}为2级等比数列，且前四项分别为4，

1

3

，2，1，求a₈•a₉的值；
（2）若a_n=2ⁿsin（ωn+

π

6

）（ω为常数），且{a_n}是3级等比数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）证明：{a_n}为等比数列的充要条件是{a_n}既为2级等比数列，{a_n}也为3级等比数列．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用定义，求出a₈、a₉，即可求a₈•a₉的值；
（2）根据{a_n}是3级等比数列，列出方程，即可求ω所有可能值的集合，从而求ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）根据数列{a_n}为k级等比数列的定义，分充分性与必要性进行证明即可．

解答： （1）解：由题意，a8=a2(

a4

a2

)3=

1

3

×33=9…（2分）
a9=a1(

a3

a1

)4=4×

1

24

=

1

4

，
∴a8•a9=

9

4

…（4分）
（2）解：∵{a_n}是3级等比数列，
∴

an+3

an

=

an

an-3

[2nsin(ωn+

π

6

)]2=2n-3sin[(ωn+

π

6

)-3ω]2n+3sin[(ωn+

π

6

)+3ω]…（1分）
∴sin2(ωn+

π

6

)=sin[(ωn+

π

6

)-3ω]sin[(ωn+

π

6

)+3ω]=sin2(ωn+

π

6

)cos23ω-cos2(ωn+

π

6

)sin23ω
=sin2(ωn+

π

6

)cos23ω-cos2(ωn+

π

6

)sin23ω=sin2(ωn+

π

6

)-sin²3ω
∴sin²3ω=0，
∴3ω=kπ（k∈Z），∴ω=

kπ

3

(k∈Z)，∴ω∈{ω|ω=

kπ

3

(k∈Z)}…（3分）
∴ω最小正值等于

π

3

，此时an=2nsin(

nπ

3

+

π

6

)

an+3

an

=-8，a1=2×1=2，a2=4×

1

2

=2，a3=8×(-

1

2

)=-4，
∴a₁+a₂+a₃=0，
∴a3n-2+a3n-1+a3n=(a1+a2+a3)(-8)n-1=0…（5分）
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=0…（6分）
（3）必要性：若{a_n}为等比数列，则

an+k

an

=

an

an-k

=qk
对一切k∈N^*成立，显然对k=2，3成立．
∴{a_n}既为2级等比数列，{a_n}也为3级等比数列．…（2分）
充分性：若{a_n}为2级等比数列，

an+2

an

=

an

an-2

，则{a_2n-1}，{a_2n}均成等比数列，
设等比数列{a_2n-1}，{a_2n}的公比分别为q₁，q₂，{a_n}为3级等比数列，

an+3

an

=

an

an-3

，则{a_3n-2}成等比数列，设公比为Q…（3分）
∵a₁，a₇既是中{a_2n-1}的项，也是{a_3n-2}中的项，
∴

a7

a1

=

q

3 1

=Q2a₄，a₁₀既是中{a_2n}的项，也是中{a_3n-2}的项，

a10

a4

=

q

3 2

=Q2

q

3 1

=

q

3 2

=Q2，∴q₁=q₂…（5分）
设q1=q2=q2，则Q=q³
∴a2n-1=a1

q

n-1 1

=a1q2n-2（n∈N^*），a2n=a2

q

n-1 2

=a2q2n-2（n∈N^*），
又a4=a1Q=a1q3，a4=a2q2=a2q2，
∴a₂=a₁q，…（7分）a2n=a1q2n-1（n∈N^*）
∴a2n-1=a1q2n-2，a2n=a1q2n-1（n∈N^*）
综合得：an=a1qn-1(n∈N*)，显然{a_n}为等比数列．…（8分）

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．