Question

在等差数列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

1

Sn+n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出等差数列的前n项和S_n=n²，代入b_n=

1

Sn+n

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

，然后利用裂项相消法数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，得
2a₁+3a₂=2a₁+3（a₁+d）=5a₁+3d=11  ①，
2a₃=a₂+a₆-4，即2（a₁+2d）=a₁+d+a₁+5d-4  ②，
联立①②解得d=2，a₁=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=n×1+

1

2

n（n-1）×2=n²，
b_n=

1

Sn+n

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．