Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），短轴长为4，离心率为

2

2

，O为坐标原点，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆E的短轴长为4，离心率为

2

2

，可得2b=4，e=

2

2

=

c

a

，又a²=b²+c²．解出即可．
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，设该圆的切线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，△＞0，化为8k²-m²+4＞0，可得根与系数的关系，

OA

⊥

OB

?x₁x₂+y₁y₂=0，可得3m²-8k²-8=0，由于直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，可得x2+y2=

8

3

，此时圆的切线y=kx+m都满足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，而当切线的斜率不存在时，也成立．

解答： 解：（1）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），短轴长为4，离心率为

2

2

，
∴2b=4，e=

2

2

=

c

a

，又a²=b²+c²．
解得

a2=8 b2=4

，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，
设该圆的切线方程为y=kx+m，
联立

y=kx+m x2+2y2=8

化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，化为8k²-m²+4＞0，
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（k₁x+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴k2=

3m2-8

8

≥0，
又8k²-m²+4＞0，
∴

m2＞2 3m2≥8

，∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=

|m|

1+k2

，r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，r=

2 6

3

，
所求的圆为x2+y2=

8

3

，
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而当切线的斜率不存在时，切线为x=±

2 6

3

与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的两个交点为(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)满足

OA

⊥

OB

．
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=

8

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切相交问题转化为方程联立可得△≥0及根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．