Question

5．已知锐角△ABC的外接圆O的半径为1，∠B=$\frac{π}{6}$，则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围为（3，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理把△ABC的边a，c用含有A的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角A的范围，把$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$转化为关于A的三角函数求最值．

解答 解：如图，
设$|\overrightarrow{BA}|=c$，$|\overrightarrow{BC}|=a$，
∵△ABC的外接圆O的半径为1，∠B=$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=2$，则a=2sinA，c=2sinC．
C=$\frac{5π}{6}-A$，
由$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=ca•cos$\frac{π}{6}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAsin（$\frac{5π}{6}-A$）
=$2\sqrt{3}sinA（sin\frac{5π}{6}cosA-cos\frac{5π}{6}sinA）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A+3si{n}^{2}A$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{3}{2}cos2A+\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}sin（2A-\frac{π}{3}）+\frac{3}{2}$．
∵$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（2A-\frac{π}{3}）＜1$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$∈（3，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$）．
故答案为：（3，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$）．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理在解三角形中的应用，体现了数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．