Question

14．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上．且经过点M（1，2），
（1）求抛物线C的方程；
（2）若动直线l过点P（3，0），交抛物线C于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l'被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l'的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线的标准方程为y²=2px，由曲线C经过点P（1，2），得p=2，即可求解；
（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x₁，y₁），则C（$\frac{{x}_{1}+3}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$）．设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x₂，y₂），则H（x₂，y₃），求得|DC|和|CH|、|DH|²，可得当x₂=2时，|DH|²=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2 $\sqrt{2}$为定值，由此可得结论

解答 解：（1）由题意，可设抛物线的标准方程为y²=2px，
因为曲线C经过点P（1，2），所以p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x，
（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x₁，y₁），则C（$\frac{{x}_{1}+3}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$）．
设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x₂，y₂），则H（x₂，y₃），
∴|DC|=$\frac{1}{2}$|AP|=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}-3）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，|CH|=|$\frac{{x}_{1}+3}{2}-{x}_{2}$|=$\frac{1}{2}$|x₁-2x₂+3|，|DH|²=|DC|²-|HC|²=（x₂-2）x₁-x${{\;}_{2}}^{2}$+3x₂
由x₁的任意性可得，当x₂=2时，|DH|²=-4+6=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2$\sqrt{2}$ 为定值．
故存在垂直于x轴的直线l（即直线DE），倍圆截得的弦长为定值，直线l的方程为 x=2．

点评 本题主要考查用待定系数法求抛物线和双曲线的标准方程，直线和圆相交的性质，属于中档题．