Question

如图为函数f（x）=

x

x2+1

的部分图象，ABCD是矩形，A、B在图象上，将此矩形（AB边在第一象限）绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：求导数，求出AB=|x_A-x_B|，可得旋转体的体积，即可求出旋转体的体积的最大值．

解答： 解：由题意f/(x)=

-(x+1)(x-1)

(x2+1)2

=0得x=1为极大值点，且f(1)=

1

2

，
设A、B的纵坐标为k(0＜k＜

1

2

)，则由

x

x2+1

=k得kx²-x+k=0，xA+xB=

1

k

，x_A•x_B=1，
所以AB=|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xA•xB

=

1 k2 -4

，
所以V=πk2•

1 k2 -4

=π

k2-4k4

=2π

-(k2- 1 8 )2+ 1 64

≤

π

4

，
当且仅当k=

2

4

时取“=”，此时△＞0，故旋转体体积的最大值为

π

4

．
故答案为：

π

4

．

点评：本题考查旋转体的体积的最大值，考查导数知识的运用，正确求旋转体的体积是关键．