Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁，BD的中点．求证：
（1）求直线AE与平面BDD₁B₁所成角的正弦值；
（2）EF⊥B₁C．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面BDD₁B₁所成角的正弦值．
（2）求出

EF

=（1，1，1），

B1C

=（-2，0，2），利用向量法能证明EF⊥B₁C．

解答： 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
A（2，0，0），E（0，0，1），D（0，0，0），
B（2，2，0），D₁（0，0，2），

AE

=（-2，0，1），

DD1

=（0，0，2），

DB

=（2，2，0），
设平面DBD₁的法向量

n

=（x，y，z），

n • DD1 =2z=0 n • DB =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），
设直线AE与平面BDD₁B₁所成角为θ，
sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=|

-2

5 × 2

|=

10

5

．
∴直线AE与平面BDD₁B₁所成角的正弦值为

10

5

．
（2）E（0，0，1），F（1，1，0），

EF

=（1，1，1），
B₁（2，2，2），C（0，2，0），

B1C

=（-2，0，2），
∴

EF

•

B1C

=-4+0+4=0，
∴EF⊥B₁C．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．