Question

若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  20

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  8

  +

  y2

  12

  =1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设出椭圆方程，和直线方程联立后化为关于y的一元二次方程，然后利用根与系数关系求解．

解答： 解：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），
则a²-b²=4，
∴可设椭圆方程为

y2

b2+4

+

x2

b2

=1，
联立

y=3x+7 y2 b2+4 + x2 b2 =1

，得（10b²+4）y²-14（b²+4）y-9b⁴+13b²+196=0，
设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴y1+y2=

14(b2+4)

10b2+4

=2．
解得：b²=8．
∴a²=12．
则椭圆方程为：

x2

8

+

y2

12

=1．
故选：D．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆方程的求法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，是中档题．