Question

某校组建由2名男选手和n名女选手的“汉字听写大会”集训队，每次比赛均从集训队中任选2名选手参赛．
（Ⅰ）若n=2，记某次参赛被选中的男选手人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若n≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”比赛，每次从集训队中选2名选手，试问：当n为何值时，三次比赛恰有一次参赛选手性别相同的概率取得最大值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）n=2时，X=0，1，2，求出相应的概率，可得分布列，从而可求数学期望；
（2）利用三次比赛恰有一次参赛选手性别相同，可得P=

1

3

时，概率取得最大值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）n=2时，X=0，1，2，则
P（X=0）=

C 0 2 C 2 2

C 2 4

=

1

6

，P（X=1）=

C 1 2 C 1 2

C 2 4

=

2

3

，P（X=2）=

C 0 2 C 2 2

C 2 4

=

1

6

，
∴X的分布列

X	0	1	2
P	1 6	2 3	1 6

EX=0×

1

6

+1×

2

3

+2×

1

6

=1；
（Ⅱ）一次比赛参赛选手性别相同的概率为P=

C 2 2 + C 2 n

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

，
∴f（P）=

C

1 3

P(1-P)2=3P³-6P²+3P，
∴f′（P）=3（P-1）（3P-1），
∴P=

1

3

时，f（P）取最大值，
∴

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

，∴n=2．

点评：本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．