Question

4．已知函数f（x）=a|x-1|+|x-a|（a＞0）．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤4；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）在（-∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，f（0）=f（$\frac{8}{3}$）=4利用解不等式f（x）≤4；
（2）若f（x）≥1，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+4，x＜1}\\{x，1≤x≤2}\\{3x-4，x＞2}\end{array}\right.$
所以，f（x）在（-∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，
又f（0）=f（$\frac{8}{3}$）=4，故f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤$\frac{8}{3}$}．…（4分）
（2）①若a＞1，f（x）=（a-1）|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1，
当且仅当x=1时，取等号，故只需a-1≥1，得a≥2．…（6分）
②若a=1，f（x）=2|x-1|，f（1）=0＜1，不合题意．…（7分）
③若0＜a＜1，f（x）=a|x-1|+a|x-a|+（1-a）|x-a|≥a（1-a），
当且仅当x=a时，取等号，故只需a（1-a）≥1，这与0＜a＜1矛盾．…（9分）
综上所述，a的取值范围是[2，+∞）．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．