Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=3x+b在x=1处相切，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=0时，函数h（x）=f（x）+bx有两个不同的零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出k，b的值，
（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性关系即可求出．
（Ⅲ）当a=0时，若函数h（x）有两个不同的零点，利用数形结合即可求b的取值范围；

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，x＞0，
∴f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$，
∵曲线y=f（x）与直线y=3x+b在x=1处相切，
∴f′（1）=a+1=3，
∴a=2，
∴f（1）=1+ln1=1，
∴1=3+b，
∴b=-2，
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$，
当a≥0时，f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1}{-a}}$=$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$，
当x∈（0，$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$）时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当x∈（$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
（Ⅲ）a=0时，函数h（x）=f（x）+bx=lnx+bx
令m（x）=lnx，n（x）=-bx，
要使得h（x）有两个零点，即使得m（x）和n（x）图象有两个交点（如图），
容易求得m（x）和n（x）的切点为（e，1），
∴0＜-b＜$\frac{1}{e}$，即-$\frac{1}{e}$＜b＜0．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查考生的应用，运算量大，综合性较强，属于难题