Question

9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，则向量$\overrightarrow{CA}$在向量$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． -3
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACO=30°，可得向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为：|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠ACB，计算求的结果．

解答 解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴OBAC为平行四边形．
∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，
因此，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACO=30°，
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为：|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠ACB=2cos30°=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题给出三角形外接圆满足的向量等式，求向量的投影，着重考查了向量的加法法则、向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．