Question

已知两点A（-2，0），B（2，0），动点P在x轴上的射影为H，且

PA

•

PB

=λ•|

PH

|²，其中λ≥0
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程并讨论C的轨迹形状
（2）过点A（-2，0）且斜率为1的直线交曲线C于M，N两点，若MN中点横坐标为-

2

3

．求实数λ？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由已知得（-2-x，-y）•（2-x，-y）=λ•y²，由此能求出动点P（x，y）的轨迹C的方程并讨论C的轨迹形状．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），过点A（-2，0）且斜率为1的直线为：y=x+2，联立

y=x+2 x2+(1-λ)y2=4

，得（2-λ）x²+4（1-λ）x-4λ=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出实数λ．

解答： 解：（1）设P（x，y），∵两点A（-2，0），B（2，0），
动点P在x轴上的射影为H，且

PA

•

PB

=λ•|

PH

|²，其中λ≥0，
∴（-2-x，-y）•（2-x，-y）=λ•y²，
整理，得x²+y²-4=λy²，即x²+（1-λ）y²=4．
①λ=0时，轨迹C是圆；
②0＜λ＜1，轨迹C是椭圆，
③λ=1，轨迹C是两条平行直线；
④λ＞1，轨迹C是双曲线．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），过点A（-2，0）且斜率为1的直线为：y=x+2，
联立

y=x+2 x2+(1-λ)y2=4

，得（2-λ）x²+4（1-λ）x-4λ=0，
∵直线交曲线C于M，N两点，∴△＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-4(1-λ)

2-λ

，x1x2=

-4λ

2-λ

，
∵MN中点横坐标为-

2

3

，
∴

x1+x2

2

=

-2(1-λ)

2-λ

=-

2

3

，
解得λ=

1

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法和曲线类型的讨论，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和韦达定理的合理运用．