Question

在平面直角坐标系中，已知动点M（x，y），点A（0，1）、B（0，-1），D（1，0），点N与点M关于直线y=x对称，且

AN

•

BN

=

1

2

x²，直线l是过点D的任意一条直线．
（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程；
（2）设直线l与曲线C交于G、H两点，且|GH|=

3 2

2

，求直线l的方程；
（3）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直线GB与直线HA交于点O，求证：

OP

•

OQ

是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,证明题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；
（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；
（3）求出HA，GB的方程，设出Q的坐标，由（2）得，P（0，-k），再由直线GB与直线HA交于点O，解得Q的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得到定值1．

解答： 解：（1）由题意可得，N（y，x），

AN

=（y，x-1），

BN

=（y，x+1），

AN

•

BN

=

1

2

x²，
即有y²+x²-1=

1

2

x²，即有C：

x2

2

+y2=1；
（2）若l平行于y轴，则|GH|=

2

，这与已知矛盾，则l不平行于y轴．
设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设H（x₁，y₁），G（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
且判别式大于0，又|GH|=

3 2

2

，
即

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

16k2 (1+2k2)2 - 8k2-8 1+2k2

=

3 2

2

，解得，k=±

2

2

．
则l：y=±

2

2

（x-1）；
（3）证明：由l与 AB交于P，且与点O，A，B不重合，
则l的斜率k：-1＜k＜1且k≠0，由（2）得，P（0，-k），
y₁+y₂=

-2k

1+2k2

，y₁y₂=

-k2

1+2k2

，
HA：y-1=

y1-1

x1

x，GB：y+1=

y2+1

x2

x．
Q（x_Q，y_Q），则有

yQ-1

yQ+1

=

y1-1

y2+1

•

x2

x1

则

yQ-1

yQ+1

＞0，（

yQ-1

yQ+1

）²=

(y1-1)2

(y2+1)2

•

x22

x12

=

1-(y1+y2)+y1y2

1+(y1+y2)+y1y2

=（

1+k

1-k

）²，
则有

yQ-1

yQ+1

=

1+k

1-k

，解得，y_Q=-

1

k

，
则有

OP

•

OQ

=（0，-k）•（x_Q，-

1

k

）=0+（-k）•(-

1

k

)=1为定值．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的能力，属于中档题．