Question

已知在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，长半轴长为4，离心率为

1

2

，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

a=4 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）将直线l：y=kx+m与椭圆联立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l斜率的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，长半轴长为4，离心率为

1

2

，
∴

a=4 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=4，b=2

3

，
∴椭圆C：

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
将直线l：y=kx+m与椭圆联立可得

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，
消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）＞0，
∴16k²+12＞m²，①
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-48

3+4k2

，
设MN中点F（x₀，y₀），
∴x0=

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，
∵ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴k_EFk=-1，
∴

3m 3+4k2 -1

-4km 3+4k2

•k=-1，
∴m=-（4k²+3）代入①可得：16k²+12＞（4k²+3）²
∴16k⁴+8k²-3＜0
解得-

1

2

＜k＜

1

2

．
∴直线l斜率的取值范围是（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式的合理运用．