Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中左焦点（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．

Answer 1

分析 （1）路椭圆的离心率以及焦点坐标，求出a，b，即可求解椭圆的标准方程．
（2）设出A，B坐标，联立方程组，利用韦达定理以及表达式，求解弦长，通过二次函数的性质求解最值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中左焦点（-2，0）．
可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ c=2\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{2}\\ c=2\end{array}\right.$；解得b=2，
椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设A（x₁y₁），B（x₂y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x+m\end{array}\right.⇒3{x^2}+4mx+2{m^2}-8=0$
∴$△=96-8{m^2}＞0⇒-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}，{x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$
∴$|{AB}|=\sqrt{1+1{\;}^2}•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{4}{3}\sqrt{12-{m^2}}$
∴当$m=0，{|{AB}|_{max}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．