Question

1．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是单位向量，且夹角为60°，若向量$\overrightarrow p$满足$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow p}|=\frac{1}{2}$，则$|{\overrightarrow p}|$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{p}$=（x，y），不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．可得$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{p}$，利用向量$\overrightarrow p$满足$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow p}|=\frac{1}{2}$，可得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$．可得圆心C$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，半径r．可得$|{\overrightarrow p}|$的最大值为$|\overrightarrow{OC}|$+r．

解答 解：设$\overrightarrow{p}$=（x，y），不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
则$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{p}$=$（\frac{1}{2}-x，-\frac{\sqrt{3}}{2}-y）$．
∵向量$\overrightarrow p$满足$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow p}|=\frac{1}{2}$，
∴$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$．
可得圆心C$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$|\overrightarrow{OC}|$=1，
∴$|{\overrightarrow p}|$的最大值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、模的计算公式、圆的标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．