题目内容
已知圆M：（x-2）2+（y-2）2=10和点A（3，5），直线l经过点A且与圆M相切．
（1）求直线l方程；
（2）过A作圆的两条弦AB、AC，且直线AB和AC的斜率相反，求证直线BC的斜率为定值．
（1）求直线l方程；
（2）过A作圆的两条弦AB、AC，且直线AB和AC的斜率相反，求证直线BC的斜率为定值．
考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系
专题：计算题,证明题,直线与圆
分析：（1）可知A在圆上，故A为切点，且切线只有一条，由相切的知识，求出斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）若直线AB与直线AC的斜率互为相反数，又它们都经过A点，则可以设出它们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论．
（2）若直线AB与直线AC的斜率互为相反数，又它们都经过A点，则可以设出它们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论．
解答：
（1）解：由于圆M：（x-2）2+（y-2）2=10和点A（3，5），
将A的坐标代入圆方程成立，故A在圆上，
又圆心M为（2，2），
则直线AM的斜率为3，故切线的斜率为-
，
则切线方程为：y-5=-
（x-3），即x+3y-18=0．
故直线l的方程为：x+3y-18=0．
（2）证明：设AB：y=k（x-3）+5，代入圆的方程整理得：
（1+k2）x2+（6k-6k2-4）x+9k2-18k+3=0
∵3，x1是上述方程的两根，
∴3x1=
，即x1=
，y1=
．
由直线AB和AC的斜率相反，可设AC：y=-k（x-3）+5，
同理可得：x2=
，y2=
，
∴kBC=
=
则直线BC的斜率为定值
．
将A的坐标代入圆方程成立，故A在圆上，
又圆心M为（2，2），
则直线AM的斜率为3，故切线的斜率为-
| 1 |
| 3 |
则切线方程为：y-5=-
| 1 |
| 3 |
故直线l的方程为：x+3y-18=0．
（2）证明：设AB：y=k（x-3）+5，代入圆的方程整理得：
（1+k2）x2+（6k-6k2-4）x+9k2-18k+3=0
∵3，x1是上述方程的两根，
∴3x1=
| 9k2-18k+3 |
| 1+k2 |
| 3k2-6k+1 |
| 1+k2 |
| -6k2-2k |
| 1+k2 |
由直线AB和AC的斜率相反，可设AC：y=-k（x-3）+5，
同理可得：x2=
| 3k2+6k+1 |
| 1+k2 |
| -6k2+2k |
| 1+k2 |
∴kBC=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 1 |
| 3 |
则直线BC的斜率为定值
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切的特点和直线方程与圆方程联立，运用韦达定理求解，以及直线斜率的公式，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
，
满足
•
=0，|
|=1，|
|=2，则|2
-
|=（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
A、2
| ||
| B、4 | ||
| C、6 | ||
| D、8 |
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+
π）=-1．若f（
）=2，则f（11π）等于（ ）
| 3 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| A、-2 | ||
B、-
| ||
C、
| ||
| D、2 |
若函数f（x）=ax2-ln（2x+1）在区间[1，2]上为单调函数，则实数a不可能取到的值为（ ）
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|