Question

已知不等式

ln(kx)

x

≤

1

e

对任意正实数x恒成立，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题

分析：先利用导数研究左侧函数的单调性，求出最大值，从而可求出实数k的取值范围．

解答： 解：设函数y=

ln(kx)

x

，其中x＞0，k＞0，
求导得：y′=

1-ln(kx)

x2

，令其y′=0，解得：x=

e

k

，
当0＜x＜

e

k

，y'＞0，当x＞

e

k

，y'＜0，
所以函数在此处取得极大值为

k

e

，因此只要

k

e

≤

1

e

即可，所以0＜k≤1，
故答案为：（0，1]

点评：本题主要考查了函数恒成立的问题，以及利用导数研究函数的极值，属于中档题．