Question

若|x-1|+|x+2|＞a对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：首先分析题目已知不等式|x-1|+|x+2|＞a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于|x-1|+|x+2|的最小值即可．对于求|x-1|+|x+2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x到点-2的距离加上点x到点1的距离．分析得当x在-2和1之间的时候，取最小值，即可得到答案．

解答： 解：已知不等式|x-1|+|x+2|＞a恒成立，即需要a小于|x-1|+|x+2|的最小值即可．
故设函数y=|x+2|+|x-1|，设-2、1、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．
则函数y=|x+2|+|x-1|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．
可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：y=|x+2|+|x-1|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+2|+|x-1|的最小值为3．
即：a＜3．
a的取值范围：a＜3．

点评：此题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x-a|+|x-b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．