Question

已知函数f（x）=3x²-8（m-1）x+5在[-1，+∞）上为增函数．
（1）求实数m的最大值M；
（2）在条件（1）下解关于x的不等式：1+log_M（4-a²）≤log

M

（a^x-1）（其中a＞0，a≠1）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意得到m与区间端点的关系，解得其最大值；
（2）在（1）的条件下，将不等式变形，化为同底数的对数，转化为指数不等式．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3x²-8（m-1）x+5在[-1，+∞）上为增函数，
∴

4(m-1)

3

≤-1，解得m≤

1

4

，
所以实数m的最大值M=

1

4

；
（2）由（1）得，关于x的不等式为：1+log 

1

4

（4-a²）≤log 

1

2

（a^x-1），
变形得log 

1

4

[

1

4

（4-a²）]≤log 

1

2

（a^x-1），
∴log 

1

2

1 4 (4-a2)

≤log 

1

2

（a^x-1），
∴

1 4 (4-a2)

≥ax-1，
∴①1＜a≤2时，x≤log_a（1+

1- a2 4

）；
②0＜a＜1时，x≥log_a（1+

1- a2 4

）．

点评：本题考查了二次函数的性质以及利用对数的性质解不等式．