Question

8．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过焦点F的直线AC、BD分别与抛物线交于点A，C
和点B，D．
（1）若直线AC的斜率为1，点C在第一象限，求$\frac{{|{CF}|}}{{|{AF}|}}$的值；
（2）若AC⊥BD，求|AC|+|BD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）过A，C分别作抛物线y²=4x的准线的垂线，延长CA交抛物线准线于点E，设CC₁=FC=m，AF=AA₁=n，
推出$CE=\sqrt{2}C{C_1}=\sqrt{2}m，AE=\sqrt{2}A{A_1}=\sqrt{2}n$，然后求解$\frac{m}{n}$，得到$\frac{{|{CF}|}}{{|{AF}|}}$的值；
（2）求出F（1，0），直线AC，BD斜率一定存在，设直线AC：y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解|AC|，|BD，推出|AC|+|BD|的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：（1）过A，C分别作抛物线y²=4x的准线的垂线，延长CA交抛物线准线于点E，
根据定义有CC₁=FC，AF=AA₁，
设CC₁=FC=m，AF=AA₁=n，
因为直线AC的斜率为1，所以$CE=\sqrt{2}C{C_1}=\sqrt{2}m，AE=\sqrt{2}A{A_1}=\sqrt{2}n$，
所以在Rt△CC₁E中有$CE=\sqrt{2}m=m+n+\sqrt{2}n$，
所以$\frac{m}{n}=\frac{{\sqrt{2}+1}}{{\sqrt{2}-1}}=3+2\sqrt{2}$，
即$\frac{CF}{AF}=3+2\sqrt{2}$…．（5分）
（2）根据题意F（1，0），直线AC，BD斜率一定存在，
设直线AC：y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0，
所以$|{AC}|={x_1}+{x_2}+p=\frac{{4（1+{k^2}）}}{k^2}$…．（8分）
又因为$BD：y=-\frac{1}{k}（x-1）$，同理|BD|=4（1+k²），
所以$|{AC}|+|{BD}|=\frac{{4（1+{k^2}）}}{k^2}+4（1+{k^2}）=4（{k^2}+\frac{1}{k^2}）+8≥16$，
当且仅当k=±1时取等号，
即|AC|+|BD|最小值为16…..（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．