Question

10．已知等比数列{b_n}的公比为$\frac{1}{2}$，数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1-a_n=2ⁿ•b_n
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂-a₁=2b₁，得b₁=1，又公比为$\frac{1}{2}$，从而{b_n}的通项公式为${b}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{2^n}{{{2^{n-1}}}}=2$，由此得到{a_n}是等差数列，公差为2，再由a₁=1，能求出{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{a_n}{b_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$，利用错位相减法能求出$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵等比数列{b_n}的公比为$\frac{1}{2}$，数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，${a_{n+1}}-{a_n}={2^n}•{b_n}$，
∴a₂-a₁=2b₁，∴3-1=2b₁，解得b₁=1，…（1分）
又公比为$\frac{1}{2}$，∴{b_n}的通项公式为${b_n}=1•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．…（2分）
∴${a_{n+1}}-{a_n}={2^n}•{b_n}$，即${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{2^n}{{{2^{n-1}}}}=2$，
∴{a_n}是等差数列，公差为2             …（3分）
又a₁=1，∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1． …（4分）
（2）由（1）得$\frac{a_n}{b_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$，…（5分）
∴${S_n}=1×{2^0}+3×{2^1}+5×{2^2}+…+（2n-1）•{2^{n-1}}$，①
$2{S_n}=1×{2^1}+3×{2^2}+…+（2n-3）•{2^{n-1}}+（2n-1）•{2^n}$，②，…（6分）
①-②得$-{S_n}=1+2×（{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}）-（2n-1）•{2^n}$
=$1+2×\frac{{2×（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^n}$…（7分）
=1+2×2ⁿ-4-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴${S_n}=（2n-3）•{2^n}+3$．…（8分）

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列、错位相减法等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．