Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、

  2 3

  3

• C、

  5

• D、

  5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意知圆的方程为（x+a）²+y²=a²，双曲线的一条渐近线方程为y=

b

a

x，联立

(x+a)2+y2=a2 y= b a x

，得：c²x²+2a³x=0，由此能求出结果．

解答： 解：由题意知圆的方程为（x+a）²+y²=a²，
双曲线的一条渐近线方程为y=

b

a

x，
联立

(x+a)2+y2=a2 y= b a x

，
消去y，并整理，得：c²x²+2a³x=0，
设渐近线与圆交于B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

2a3

c2

，x₁x₂=0，
∵实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线
分为弧长为1：2的两部分，
∴|BC|=

a2+a2-2a2•cos120°

=

3

a，
∴

(1+ b2 a2 )• 4a6 c4

=

3

a，
∴

c2

a2

•

4a6

c4

=3a²，
∴2a=

3

c，∴e=

2

3

=

2 3

3

．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的离心率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的灵活运用．