Question

已知函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）
（1）求定义域．
（2）判断奇偶性并证明．
（3）当a＞1时，函数f（x）在定义域上是

 

（填增减性，不必说明理由．）
（4）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）根据对数函数的概念可得；

1+x

1-x

＞0，解不等式即可的定义域．
（2）利用奇偶性概念判断，f（-x）与f（x）比较，
（3）根据对数函数单调性解不等式：log_a

1+x

1-x

＞0，log_a

1+x

1-x

＞log

1 a

，即可求出x的范围．

解答： 解：（1）由题意知

1+x

1-x

＞0，解得：-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）由（1）知定义域关于原点对称，对于定义域内的每一个x，
由f(x)+f(-x)=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga

(1+x)(1-x)

(1-x)(1+x)

=loga1=0
可知：f（-x）=-f（x），
因此该函数为奇函数．
（3）当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．运用单调性定义证明判断，主要作差判断．
（4）证明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

因为

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

-1=

2(x1-x2)

(1-x1)(1+x2)

又-1＜x₁＜x₂＜1，所以

2(x1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
因此有

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1．
又a＞1，所以loga

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．
（4）f（x）＞0即log_a

1+x

1-x

＞0，log_a

1+x

1-x

，＞log

1 a

，
因为0＜a＜1，所以由对数函数的单调性知0＜

1+x

1-x

＜1，解得-1＜x＜0．
故对于0＜a＜1，当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．

点评：本题综合考查了对数函数的性质，融合了函数奇偶性，单调性，解不等式等问题，难度较大．