Question

已知函数y=f（x）与函数y=cosx有相同的奇偶性，与函数y=tanx有相同的周期，在[

π

2

，π]上与函数y=sinx有相同的图象，
①f（

4π

3

）=-

3

2

；
②函数y=f（x）的图象的对称轴为x=

kπ

2

，k∈Z；
③函数y=f（x）值域是[-1，1]；
④函数y=f（x）的单调增区间是[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．
则以上说法正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：由条件得到函数f（x）为偶函数，周期为π，在[

π

2

，π]上与函数y=sinx有相同的图象，由此可作出函数f（x）的图象，由周期和图象即可得到f（

4π

3

）=

3

2

，通过图象可得到对称轴和值域，以及单调增区间．

解答： 解：∵y=cosx为偶函数，∴y=f（x）为偶函数，
∵函数y=tanx的周期为π，∴y=f（x）的周期为π，
又在[

π

2

，π]上与函数y=sinx有相同的图象，
即为半个周期的图象，
则图象可为：

对于①，f（

4π

3

）=f（π+

π

3

）=f（

π

3

）=sin

π

3

=

3

2

，故①错；
对于②，函数y=f（x）的图象的对称轴x=kπ或x=kπ+

π

2

，合并为x=

kπ

2

，k∈Z，故②对；
对于③，函数y=f（x）值域是[0，1]，故③错；
对于④，函数y=f（x）的单调增区间是[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z，故④对．
故答案为：②④．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、周期性和单调性、对称性及运用，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题和易错题．