Question

16．已知函数f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx，m∈R．函数g（x）=$\frac{1}{xcosθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，且0∈[0，$\frac{π}{2}$）
（I）当m=3时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求θ的取值；
（Ⅲ）若h（x）=f（x）-g（x）在其定义域上为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，问题转化为$\frac{1}{cosθ}≤x$在x∈[1，+∞）上恒成立，求出θ的值即可；
（Ⅲ）求出h（x）的导数，问题转化为mx²-2x+m≥0或mx²-2x+m≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，分离参数，结合基本不等式的性质求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=3时，$f（x）=3x-\frac{2}{x}-lnx$，$f'（x）=3+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$…（1分）
所求切线斜率k=f'（1）=4，f（1）=1，
∴y-1=4（x-1），
即切线方程为4x-y-3=0…（3分）
（Ⅱ）∵g（x）在q上为增函数，
∴$g'（x）=-\frac{1}{cosθ}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}≥0$在x∈[1，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{cosθ}≤x$在x∈[1，+∞）上恒成立，…（5分）
∴$\frac{1}{cosθ}≤1$∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}）$，
∴cosθ≥1，又∵cosθ≤1，∴cosθ=1，
∴θ=0…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知∵$h（x）=f（x）-g（x）=mx-\frac{m-1}{x}-lnx-（\frac{1}{x}+lnx）=mx-\frac{m}{x}-2lnx$，
∴$h'（x）=\frac{{m{x^2}-2x+m}}{x^2}$…（8分）
∵h（x）在（0，+∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或mx²-2x+m≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，…（9分）
即x∈（0，+∞）时$m≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}或m≤\frac{2x}{{{x^2}+1}}$恒成立，…（10分）
设$F（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}（x＞0）$，
∵$x+\frac{1}{x}≥2$（当且仅当x=1时“等号”成立）∴0＜F（x）≤1…（11分）
∴m≥1或m≤0，
即m取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）…（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查三角函数的性质，考查函数的单调性问题以及函数恒成立问题，是一道综合题．