Question

1．设点P是曲线y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+（4-$\sqrt{3}$）x上任意一点，P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$π，π）
• B． （$\frac{π}{2}$，$\frac{5}{6}$π]
• C． [0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{5}{6}$π，π）
• D． [0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{2}{3}$π，π）

Answer 1

分析 求得函数的导数，设出切点P（m，n），可得切线的斜率，配方可得斜率的最小值，由正切函数的图象，即可得到所求范围．

解答 解：y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+（4-$\sqrt{3}$）x的导数为y′=x²-4x+4-$\sqrt{3}$
=（x-2）²-$\sqrt{3}$，
设P（m，n），
可得切线的斜率为k=tanα=（m-2）²-$\sqrt{3}$，
即有tanα≥-$\sqrt{3}$，
可得α∈[0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{2π}{3}$，π）．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围的求法，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．