Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x-4与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入计算即可得出答案；
（Ⅱ）先求出AB的长度，再根据三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，$\frac{P}{2}$+3=4，∴p=2，
∴抛物线方程为C：y²=4x；
（Ⅱ）将直线方程与抛物线的方程进行联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得，y²-2y-8=0，∴A（1，-2），B（4，4），
∴|AB|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d=$\frac{|2a-0-4|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$，
又S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d，
代入计算可得，|a-2|=3，
∴a=5或a=-1，
故点P的坐标为（5，0）和（-1，0）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．