Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=50，d=-3．
（1）若a_n＜0，求n的最小值；
（2）若S_n＞0，求n的最大值；
（3）求S_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和等差数列的通项公式求出通项公式，再由a_n＜0求n的范围，由n的取值求出最小值；
（2）根据等差数列的前n项和公式表示出S_n，再由S_n＞0求n的范围，由n的取值求出最大值；
（3）根据（2）得Sn=-

3

2

n2+

103

2

n，求出对称轴方程，由n∈N₊和二次函数的性质得，当n=17时S_n取最大值，代入求出S_n的最大值S₁₇．

解答： 解：（1）由题意得，等差数列中，a₁=50，d=-3
所以，a_n=a₁+（n-1）d=53-3n，
令a_n＜0得，n＞

53

3

，又n∈N₊，则n≥18，
所以a_n＜0时n的最小值是18；
（2）Sn=

n(a1+an)

2

=

n(50+53-3n)

2

=-

3

2

n2+

103

2

n，
由Sn=-

3

2

n2+

103

2

n＞0得，0＜n＜

103

3

，
又n∈N₊，则n≤34，
所以S_n＞0时n的最大值是34；
（3）由（2）得，Sn=-

3

2

n2+

103

2

n，则对称轴是n=

103

6

，
又n∈N₊，则当n=17时S_n取最大值，
所以S₁₇=-

3

2

×172+

103

2

×17=342．

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及根据二次函数的性质求出S_n最大，注意n只取整数．