Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实数），满足f（-1）=0，对于任意实数x都有f（x）≥x，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤

(x+1)2

4

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由已知条件求得f（1）=1，结合f（-1）=0求得b=

1

2

，a+c=

1

2

，再由对于任意实数x都有f（x）≥x得到
ax²+（b-1）x+c≥0，即a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c=

1

2

代入求得a，c的值，则函数解析式可求．

解答： 解：当x=1时，由 f（1）-1≥0，且f（1）≤

(1+1)2

4

=1，∴f（1）=1．
由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=

1

2

，a+c=

1

2

．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化简得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c=

1

2

代入化简可得(a-

1

4

)2≤0，
∴a=

1

4

，c=

1

4

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数解析式的求解及判断方法，体现了数学转化思想方法，是中档题．