Question

18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC与DC中点，G为BF与DE交点，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，试以$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$为基底表示下面向量
（1）$\overrightarrow{DB}$
（2）$\overrightarrow{AC}$
（3）$\overrightarrow{DE}$
（4）$\overrightarrow{CG}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量减法的几何意义表示；
（2）根据向量加法的平行四边形法则表示；
（3）根据向量加法和数乘的几何意义表示；
（4）根据A，B，C三点共线时，$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$且x+y=1来表示．

解答 解：（1）$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$；
（3）$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$
=$\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
=$\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=$\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$；
（4）设$\overrightarrow{CG}=m\overrightarrow{CD}+n\overrightarrow{CE}$，则：
$\overrightarrow{CG}=2m\overrightarrow{CF}+\frac{n}{2}\overrightarrow{CB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{2m+\frac{n}{2}=1}\end{array}\right.$；
解得$m=\frac{1}{3}，n=\frac{2}{3}$；
∴$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CE}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$．

点评 考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$且x+y=1．