Question

13．若数列{a_n}的前n项和为${S_n}=\frac{{n{a_n}}}{2}，{a_2}=2$，则数列{a_n}的通项公式是a_n=2（n-1）．

Answer 1

分析 求得a₁=0，当n≥3时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n{a}_{n}}{2}$-$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，采用累乘法，即可求得a_n=2（n-1），当n=1和n=2时，显然成立，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由当n=2时，a₁+a₂=$\frac{2×{a}_{2}}{2}$，则a₁=0，
当n≥3时，由S_n-1=$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，则a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n{a}_{n}}{2}$-$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
则$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{1}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{2}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
以上各式相乘可得：$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×…×$\frac{n-1}{n-2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1，则a_n=2（n-1），
当n=1和n=2时，显然成立，
数列{a_n}的通项公式a_n=2（n-1），
故答案为：a_n=2（n-1）．

点评 本题考查数列的通项公式的求求法，考查累乘法求数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．